Die Geschichte der Zahl pi

Ich persönlich habe so mein Problem damit, dass alles was denkbar ist auch existiert. Wenn dann die Zahl Pi denkbar ist, wäre es auch denkbar, dass sie nicht existiert. Man könnte sagen, dass es dann zu jedem Ja auch ein gleichwertiges Nein gibt.
Würde Pi existieren, wäre es dann nicht die perfekte Harmonie?

 

Ja, so ungefähr stelle ich mir das auch vor. Der Radius ist die Schnurlänge vom Pflock in der Mitte und wenn man aus der Radiusschnur eine Durchmesserschnur von einem Punkt der Kreislinie zu einem gegenüberliegenden über den Mittelpflock führt und wieder hin und zurück und dann diese auf die Kreislinie legt, fehlt immer ein Stück.
Das fehlende Stück ist um so größer, je größer der Kreis ist.
Die Schnur hatte man ohnehin in der Hand.
Also ist Pi doch eine realistische Größe, ein Symbol, ein Sinnbild für ein Stück Wirklichkeit, genau wie jede andere Zahl oder jedes Wort.

Die Genauigkeit ist eine spannende Sache. Es leuchtet mir ein, dass diese von der Anwendung abhängt und das eine Zahl wie 0,3333... unendlich viele Stellen haben kann, eben weil sie symbolisiert, dass, wenn ich 1 durch 3 teile, ich immer weiter machen muß, bis zum kleinsten unteilbaren Teilchen (wurde das überhaupt schon gefunden, theoretisch muß es 1/3 Atome geben)
In der theoretischen Mathematik scheint der Nutzen aber keine Rolle zu spielen, da geht es mehr um philosophische Betrachtungen, jedenfalls ist mir das zu abstrakt.

 

Das Verhältnis gibt es aber nunmal und es ist mit unserem Zahlensystem nicht in endlicher Form darstellbar, nun lässt sich aber denken, dass sie unendlich ist (was sich auch beweisen lässt).
Eigentlich ist der Begriff denkbar Schwachsinn/von mir schlecht gewählt, wenn es um Konstanten geht. Mir persönlich ist es meist egal, ob ein bestimmter mathematischer Inhalt existiert oder nicht. Es reicht, wenn er der Logik gehorcht und mich innermathematisch weiterbringt.

wunderschön gesagt.

Manchmal entdeckt ein Ingenieur oder Physiker per Zufall ja doch mal einen praktischen Nutzen.

 

Mit der Entdeckung der Zahl π ist vor allen Dingen auch die Erweiterung des Zahlenbereichs von den rationalen Zahlen, die als Bruch darstellbar sind, zu den reellen Zahlen, welche man nicht als Bruch darstellen kann, verbunden.
Solche Entdeckungen setzen ein gewisses Maß an Phantasie und Akzeptanz voraus, da sie mitunter auch weitreichende Konsequenzen für die Entdecker (z. B. für die Pythagoreer durch die Quadratwurzel der Zahl 2 ) hatte.
Für viele Menschen ist es auch heute noch schwierig sich in weitere Bereiche, wie z. B. den der komplexen Zahlen, vorzuwagen.
Die „Realität“ spielt in der Mathematik jedoch keine Rolle (wenn ich das so sagen darf). Sie findet in ihrer eigentlichen Form nur im Kopf statt und hat (inzwischen) keinen Anspruch etwas was sich außerhalb davon befindet zu erklären.

 

Ich habe mich jetzt ein wenig belesen und kenne nun reelle und rationale Zahlen. Davon wusste ich vorher noch nichts. Riesen Bildungslücke!
Jetzt weiß ich auch, dass Pi von Johann Heinrich Lambert bewiesen wurde und das es Zahlen gibt, die noch nicht bewiesen wurden.

 

Wenn ich das sagen darf: pi ist keine reelle, sondern eine transzendente Zahl, d.h. sie ist kein Ergebnis einer Polynomialgleichung wie etwa Wurzel 2. Neben pi gibt es ja noch e und c und unendlich viele weitere Zahlen dieser Art.

Inwieweit "gibt es" Zahlen? Schauen wir mal ins Reich des Imaginären, i, der Wurzel aus -1. Da wird der Unwille noch größer, das überhaupt noch als Zahl gelten zu lassen. Und doch ist sie eine.

Zahlen sind geistige Gebilde. Es "gibt" die Kreiszahl nicht in der Wirklichkeit - ganz einfach deshalb, weil es auch keinen Kreis gibt in der Wirklichkeit. Der Kreis ist ein geistiges Gebilde: alles, was wir als "Kreis" als augenscheinliches Bild kennen, ist ein materielles Abbild. Der Kreis selbst ist die Formel x^2 + y^2 = r^2. D.h. diese Formel "ist" der Kreis, nicht etwa irgendein Gebilde, das wir auf eine Tafel malen.

 

Pi ist durchaus eine reelle Zahl, also eine Zahl, die sich durch in Dezimalschreibweise mit Ziffern vor und hinter dem Komma darstellen lässt. Was Du meinst, ist vermutlich, dass Pi keine algebraische Zahl ist. Ein Begriff, den ich leider noch nicht durchschaut habe.

 

Eben nicht ! Man bräuchte unendlich viele Nachkommastellen, und die kann man nicht schreiben.

 

Pi ist eine reelle Zahl, weil sie sich als unendliche Dezimalzahl darstellen lässt. 1/3 als Dezimalbruch geschrieben ist ja auch eine reelle Zahl. Pi ist allerdings keine rationale Zahl, weil sie sich nicht als Verhältnis ganzer Zahlen darstellen lässt, wie beispielsweise im Gegensatz 1/3.

 

Reduzieren wir das Ganze doch mal auf die Mengenlehre. „Eine Menge ist die Zusammenfassung bestimmter, wohlunterschiedener Objekte unserer Anschauung oder unseres Denkens zu einem Ganzen.“
Pi ist sowohl als auch reelle und transzendente Zahl, da transzendente Zahlen nur eine Teilmenge der reellen Zahlen darstellen. Ein weiteres Beispiel wären die irrationalen Zahlen die die Menge aller reellen Zahlen ohne die Menge der rationalen Zahlen enthalten.
Nur weil sich die Bildungsvorschriften für Pi, e, Wurzel 2 und so weiter unterscheiden heißt das noch nicht, dass sie nicht einer übergeordneten Menge zugeordnet werden können.

 

Wie es Korinther schreibt, ist es wohl richtig. Die reellen Zahlen umfassen alle (ausgenommen komplexe und weitere zusammengesetzte) Zahlen, diese unterteilen sich wiederum in die

- algebraischen, die Lösungen von Polynomialgleichungen (mit ganzzahligen Koeffizienten) sind, und die
- transzendenten, die eben nicht Lösungen solcher Polynomialgleichungen sind, wie z.B. pi, e, C(*) usw.

So ist also pi reell, aber nicht algebraisch, sondern transzendent. Das hat man erst spät bewiesen, 1882.

(* Wobei ich gerade sehe, dass es noch nicht bewiesen ist, ob C bzw. gamma, wie man sie auch nennen mag, transzendent ist, s. http://en.wikipedia.org/wiki/Euler-Mascheroni_constant)

 

Aus gegebenem Anlass, nämlich wegen einer Rotbewertung meines obigen Beitrags mit dem Kommentar

, möchte ich meine Äußerung näher ausführen. Dazu möchte ich zunächst die mathematische Systematik zusammenfassen :

1. Komplexe Zahlen setzen sich zusammen aus

2. Reellen Zahlen. das sind alle Zahlen, die Punkte einer Zahlengeraden sind, z. B. Längenmaße (die ja theoretisch unendlich viele Nachkommastellen haben).
und
3. Imaginären Zahlen, die ergeben sich aus der Wurzel von negativen reellen Zahlen.

Die reellen Zahlen werden unterteilt in
4. Rationale Zahlen, das sind alle reelen Zahlen, die sich durch Brüche darstellen lassen
und
5. Irrationale Zahlen, das ist der Rest, also alle reelen Zahlen, die sich nicht durch Brüche darstellen lassen.

Die irrationalen Zahlen lassen sich einteilen in
6. Algebraische Zahlen, das sind alle reelen oder komplexe Zahlen (also nicht nur irrationale Zahlen), die Nullstelle eines eines Polynoms sind
und
7. Transzendente Zahlen, die das nicht sind.

Pi ist eine transzendente, irrationale und reelle Zahl.

Dazu ist bemerkte...

das ist richtig

das ist missverständlich. Denn : Jede Dezimalzahl mit endlich vielen Nachkommatellen ist automatisch eine rationale Zahl, denn sie lässt sich immer als Bruch darstellen, z. B.
0,1 = 1/10
0,12 = 12/100
0,123 = 123/1000
0,1234567 = 1234567/10000000

Pi hätte in der Darstellung als Dezimalzahl unendlich viele Nachkommastellen. Kann man sie also "in Dezimalschreibweise mit Ziffern vor und hinter dem Komma darstellen" ? Die entscheidende Frage ist, was "können" hier heissen soll.

Daher wandte ich zunächst einmal ein

...denn wenn man wirklich "könnte", wäre pi ja eine rationale Zahl.

Beim näheren Quellenstudium fand ich bei der Mutter aller Referenzen

Das hieße, man "kann" pi als Dezimalzahl darstellen, sofern klargestellt ist, dass die endliche Zahl der wiedergegebenen Nachkommastellen noch nicht die vollständige Zahlenfolge ist, sondern dass es eine abbrechende (oder besser : gerundete) Dezimalzahl ist und dass die Folge in Wirklichkeit unendlich ist.

 

Falls das neu für euch ist ... PI kannte man im Prinzip auch schon in Babylon angenähert als 3.125.
Eine Quelle dafür ist die Tafel YBC 07302
Zeitlich liegt das so bei 1800BC

 

Nein, da sei Wikipedia vor...

Ein österreichischer Studiosus hat über PI eine Arbeit geschrieben [1], und nächste Woche hält unser aller Lieblingsmathematiker Albrecht Beutelspacher einen Vortrag dazu [2].


[1] http://cwscholz.net/projects/fba/fba.pdf - siehe dort S. 5
[2] hr2 | Wissenswert | Die Geschichte der Mathematik: Albrecht Beutelspacher erzählt (2): Pi - die Geschichte einer unendlichen Zahl | hr2 | hr

 

Na ja, redet euch nur die Köpfe heiß.
In der Mathematik ist viel auf Sand gebaut! Ich sage nur:Axiome!
In Wirklichkeit gibt es Pi gar nicht, außer als Imagination. Und selbst dazu sind nur die wenigsten Menschen fähig.

tgasegretsnomittehgapsedegeilfsadrimtahsad :devil:

 

Ingenieure errichten ihre Bauwerke regelmäßig auf sandige Böden was, wenn es richtig gemacht wird, keine Problemen nach sich zieht. Die Mathematik an sich steht relativ stabil. Ich persönlich kenne nur einen Bereich in dem es zu Widersprüchen kommt und zwar bei Cantors naiver Mengendefinition (Russell’sche Antinomie).

Welches Problem hast du mit Axiomen?

Auch Entitäten wie „Zahl“ gibt es nicht aber das heißt nicht, dass sie sinnfrei oder sinnlos sind. Die Kreiszahl ist auch mehr als nur eine Zahl. Pi stellt ein natürliches Verhältnis dar, welches wir in der Physik, der Biologie etc. finden können und ist damit etwas mehr als nur Imagination.

 

Ein festeres Fundament gibt es nicht, wenn man an ein eindeutig wahren oder falschen Aussagen interessiert ist. Immerhin ist Mathematik die wissenschaftlich-exakte Auseinandersetzung mit selbst erdachten Strukturen... Und wenn man sich nicht auf das verlassen kann, was man sich selbst zusammen defniiert, auf was dann?

Wirklich dünne wird die mathematische Luft, wenn es für einen bereich noch nicht mal etablierte Axiome gibt.

Wenn Du sagen willst, dass die Mathematik dadurch keine exakte Abbildung der Wirklichkeit ist, hast Du natürlich in den meisten Fällen recht. :winke:

Wo ist das Problem? Geschichte bzw Geschichtswissenschaft gibts auch nur in den Köpfen der Menschen. Aber jeder Mensch, der sich einen perfekten Kreis vorstellen kann (nicht zeichnen, das ist unmöglich), der denkt auch implizit die Zahl Pi mit, selbst wenn er es nicht versteht...

 

Manche Texte haben einen Subtext. Manchmal muss man, um ihn zu erkennen, nicht einmal zwischen den Zeilen lesen. :scheinheilig:

Trotzdem schöne Antworten.

 

Es gibt keine letzte Nachkommastelle, da hinter jeder noch eine (und noch eine) kommt.

Archimedes wäre heute noch am rechnen, deshalb war es vielleicht besser so für ihn.