Meistens im politischen System...
Um es ganz kurz zu machen:
Die bürgerlich-demokratische Republik zeichnet sich durch eine parlamentarische Mitsprache und demokratische Kontrolle der Regierung, des weiteren durch eine sogenannte "freie Marktwirtschaft" aus.
Eine "sozialistische Republik" dagegen kennzeichnet v.a. ein gelenktes Parteiensystem (Blockparteien) oder ein "Einparteiensystem" (dieser Begriff ist eigentlich ein Widerspruch - ein Parteiensystem setzt mehrere Parteien voraus) sowie eine zentral gelenkte Planwirtschaft.
Aber ich ahne schon warum du frägst: es geht um die Ausrufung der deutschen Republik durch Friedrich Ebert am 9. November 1918 (womit er Karl Liebknecht und seiner "freien sozialistischen Republik" um einige Stunden zuvor gekommen ist), nicht wahr?
Das Problem dabei ist aber, dass man ja nicht wissen kann, wie diese "FSR Deutschland" tatsächlich organisiert gewesen wäre, da die Struktur der Arbeiter- und Soldatenräte, auf die sich die Linke von USPD bis Spartakusbund/KPD stützte, ja sozusagen "direkt demokratisch" war und nichts mit Parteien als solchen zu tun hatte.