Die Byzantiner selbst sahen sich nicht als "Griechen", sondern als Römer, Rhomaios/Romanus war die gängige Bezeichnung für die Menschen im Reich.
Allerdings hatte man in Westeuropa so seine Probleme damit, wenn nämlich das Byzantinische Reich = Imperium Romanum ist, hat Rom bzw. der Papst ein Legitimationsproblem, deshalb nahm im Westen neben dem Kirchenstaat, das Heilige Römische Reich die Rolle ein, die eigentlich Byzanz als Weiterführung Roms zustehen würde.
Kaiserreich durfte man sich nur mit der Erlaubnis des Papstes nennen, dass brauchte Rom (Byzanz) aber nicht, da aber Byzanz für sich selbst kulturell und religiös eine Instanz ist, braucht man sowieso kein Rom, denn Konstantinopel ist das zweite Rom, infolgedessen war es ganz wichtig für Westeuropa eine Legitimation für die Kaiserwürde zu haben und als Zentrum der Christenheit Rom in der Hand zu haben, Byzanz war dadurch ein ständiges Problem, das Lateinische Kaiserreich sollte deshalb nach dem 4. Kreuzzug ein "anständiges" katholisches und unter Rom stehendes Reich in Konstantinopel sein, was aber einige Jahre später auch unter Mithilfe anderer katholischer Staaten schnell in die Geschichtsbücher verbannt wurde.
Der Begriff "Grieche" galt als Diffamierung im Westen, man wollte damit den Byzantinern - wie bereits erwähnt -die Legitamtion als Herrscher Roms streitig machen, kannst dir das auch leicht merken, die Byzantiner hießen im eigenen Reich Basileia Rhōmaiōn (Römisches Kaiserreich) und im Nahen Osten, hießen sie ebenfalls Rum oder Rhom und hatten auch ihre Respektbekundung bekommen, im persischen wurden z.B. stets die Herrscher im HRR, schwammig als König/Kaiser bezeichnet, während der Herrscher von Konstantinopel immer als Qeysar (Kaiser) bezeichnet wurde.
Somit waren im Sinne Westeuropas alle Oströmer (Griechen) und alle im Westen, zumindest das Erbe Roms, des Originals.
Selbst bis ins 20. Jahrhundert bezeichneten einige Griechen sich noch als Rhomaioi und bis ins 19. Jahrhundert war es sogar noch ganz geläufig im Selbstverständnis der "Griechen" sich als "Römer" zu sehen.
Mit der griechischen Unabhänigkeitsbewegung musste dann die neue Idee mit Hellas her, weil das multiethnische Konstrukt Rom schlecht für eine Nationalbewegung gewesen wäre, mit Kolokotronis und co. gewinnt dann Hellas seine Stellung, wie es heute bekannter ist, auch wenn bis heute der Glanz von Rom nicht nachgelassen hat, siehe Russland.