H
Hulda
Gast
Ich hab meinen Ansatz weiter verfolgt:
n³-n soll ein vielfaches von 3 sein. Ist n=3y (also ein vielfaches von 3), dann ist dies offensichtlich gegeben. Wie sieht es nun aus, wenn n nicht restlos durch 3 teilbar ist?
n=3y+1 -> n³-n=(3y+1)³-3y-1=27y³+27y²+9y+1-3y-1=3(9y³+9y²+2y)
n=3y+2 -> n³-n=(3y+2)³-3y-2=27y³+54y²+36y+8-3y-2=3(9y³+18y²+12y+2)
In beiden Fällen lässt sich also 3 ausklammern. Damit ist das Gold für jede mögliche Anzahl von Zimmer verteilbar.
Wenn man n³-n = n(n²-1)=n(n-1)(n+1) schreibt, kann man zusätzlich sehen, dass n³-n auch durch 2 teilbar ist:
n=3y -> n(n-1)(n+1)=3y(3y-1)(3y+1)
Wenn y eine gerade Zahl ist, dann ist das Ganze durch 2 teilbar. Wenn y keine gerade Zahl ist, dann sind 3y-1 und 3y+1 ganze Zahlen, und wiederum ist das Ganze durch 2 teilbar.
n=3y+1 ->n(n-1)(n+1)=(3y+1)3y(3y+2)
Genau wie eben ist mindestens einer der Ausdrücke (3y+1), 3y und (3y+2) eine gerade Zahl und damit haben wir insgesamt wieder eine gerade Zahl.
Ebenso funktioniert es bei
n=3y+2 ->n(n-1)(n+1)=(3y+2)(3y+1)(3y+3).
Insgesamt ist n³-n also sowohl durch 3 als auch durch 2 teilbar und damit auch durch 6.